Кватернионы В Программировании Игр
Содержание. Определения Вектор-скаляр Кватернион представляет собой пару где — вектор трёхмерного пространства, а — скаляр, то есть. Операции сложения определены следующим образом: Произведение должно быть и где обозначает, а —. Векторного произведения в последнем определении влечёт некоммутативность произведения кватернионов. Матричные определения Через комплексные матрицы Альтернативно, кватернионы можно определить как комплексные матрицы следующего вида с обычными матричными произведением и суммой: здесь и обозначают комплексно-сопряжённые числа. Такое представление имеет несколько замечательных свойств:. комплексному числу соответствует диагональная матрица;.
сопряжённому кватерниону соответствует сопряжённая транспонированная матрица:;. квадрат модуля кватерниона равен определителю соответствующей матрицы:. Через вещественные матрицы Кватернионы также можно определить как вещественные матрицы следующего вида с обычными матричными произведением и суммой: При такой записи:. сопряжённому кватерниону соответствует транспонированная матрица:;. четвёртая степень модуля кватерниона равна определителю соответствующей матрицы:. Стандартное определение Кватернионы можно определить как формальную сумму где — вещественные числа, а — мнимые единицы со следующим свойством: i 2 = j 2 = k 2 = i j k = − 1.
Бесконечные преобразования поворотов (кватерниона в матрицу, углов Эйлера -. Ваткина 'Кватернионы в программировании игр'. Статьи излагают самые основы кватернионной математики, т.е. Из-за единиц. Существует несколько путей представления вращения объектов. Многие программисты. Умножение кватернионов не коммутативно, они образуют тело, которое обычно обозначается mathbb H. Кватернионы в программировании игр . Как точка ее положения + кватернион, задающий направление взгляда. Предмет «Программирование игр». Кватернионы Физика.
Таким образом, таблица умножения кватернионов — — выглядит так: 1 i j k 1 i j k например, a. Через комплексные числа. У этой категории нет основной статьи — Процедура Кэли — Диксона. Вы поможете проекту, если напишете её. Кватернион можно представить как пару комплексных чисел. Тогда кватернион можно записать в виде q = z + w j = a + b i + c j + d i j.
Связанные определения Для кватерниона кватернион называется скалярной частью а кватернион — векторной частью. Если то кватернион называется чисто скалярным, а при — чисто векторным. Сопряжение Кватернион называется сопряжённым к Сопряжённое произведение есть произведение сопряжённых в обратном порядке: Модуль Так же, как и для комплексных чисел, называется модулем. Если то называется единичным кватернионом. В качестве нормы кватерниона обычно рассматривают его модуль:.
Таким образом, на множестве кватернионов можно ввести метрику. Кватернионы образуют метрическое пространство, изоморфное с евклидовой метрикой. Кватернионы с модулем в качестве нормы образуют банахову алгебру. Из вытекает, что иными словами, кватернионы обладают мультипликативной и образуют ассоциативную алгебру с делением.
Обращение Кватернион, обратный по умножению к q, вычисляется так:. Алгебраические свойства Четыре базисных кватерниона и четыре противоположных им по знаку образуют по умножению группу кватернионов (порядка 8).
Множество кватернионов является примером кольца с делением. Множество кватернионов образует четырёхмерную ассоциативную алгебру с делением над полем вещественных (но не комплексных) чисел. Вообще, являются единственными конечномерными ассоциативными алгебрами с делением над полем вещественных чисел.
Некоммутативность умножения кватернионов приводит к неожиданным последствиям. Например, количество различных корней полиномиального уравнения над множеством кватернионов может быть больше, чем степень уравнения. В частности, уравнение q 2 + 1 = 0 имеет бесконечно много решений — это все единичные чисто векторные кватернионы. Кватернионы и повороты пространства Кватернионы, рассматриваемые как над, образуют четырёхмерное вещественное. Любой поворот этого пространства относительно может быть записан в виде, где и — пара единичных кватернионов, при этом пара определяется с точностью до знака, то есть один поворот определяют в точности две пары —.
Из этого следует, что есть, где обозначает мультипликативную группу единичных кватернионов. Чисто векторные кватернионы образуют трёхмерное вещественно векторное пространство. Любой поворот пространства чисто векторных кватернионов относительно может быть записан в виде, где — некоторый единичный кватернион.
Соответственно, в частности,. Целые кватернионы В качестве нормы кватерниона выберем квадрат его модуля:. Целыми принято называть кватернионы a + b i + c j + d k такие, что все 2 a,2 b,2 c,2 d — и одинаковой чётности. Целый кватернион называется. чётным.
Руководство вольво с60, инструкция volvo s60. Руководство по ремонту, эксплуатации. Volvo s60 руководство по ремонту.
нечётным. простым если таким же свойством обладает его норма. Целый кватернион называется примитивным, если он не делится ни на какое натуральное число, кроме 1, нацело (иными словами, ). Целые единичные кватернионы Существует 24 целых единичных кватерниона:,. Они образуют группу по умножению и лежат в вершинах правильного четырёхмерного многогранника — кубооктаэдра. Разложение на простые сомножители Для примитивных кватернионов верен аналог. Для любого фиксированного порядка множителей в разложении нормы кватерниона N( q) в произведение простых целых положительных чисел N( q) = p 1 p 2.
P n существует разложение кватерниона q в произведение простых кватернионов q = q 1 q 2. Q n такое, что N( q i) = p i.
Причём данное разложение единственно по модулю домножения на единицы — это значит, что любое другое разложение будет иметь вид, где ε 1, ε 2, ε 3, ε n − 1 — целые единичные кватернионы. Например, примитивный кватернион нормы 60 имеет (по модулю домножения на единицы) ровно 12 разложений в произведение простых кватернионов, отвечающих 12 разложениям числа 60 в произведений простых: Общее число разложений такого кватерниона равно Функции кватернионного переменного Вспомогательные функции Знак кватерниона вычисляется так:. Аргумент кватерниона — это угол поворота четырёхмерного вектора, который отсчитывается от вещественной единицы:.
Элементарные функции Степень и логарифм На множестве кватернионов можно определить показательную и логарифмическую функции. Это можно сделать, так как кватернионы образуют алгебру с делением. Тригонометрические функции Регулярные функции. Основная статья: Существуют разные способы определения регулярных функций кватернионного переменного. Самый явный — рассмотрение кватернионно дифференцируемых функций, при этом можно рассматривать праводифференцируемые и леводифференцируемые функции, не совпадающие в силу некоммутативности умножения кватернионов. Очевидно, что их теория полностью аналогична. Определим кватернионно леводифференцируемую функцию f как имеющую предел Оказывается, что все такие функции имеют в некоторой окрестности точки q вид f = a + q b где a, b — постоянные кватернионы.
Другой способ основан на использовании операторов и рассмотрении таких кватернионных функций f, для которых что полностью аналогично использованию операторов и в комплексном случае. При этом получаются аналоги, теории, и для кватернионных функций. Производная Гато. Основная статья: функции кватернионного переменного определена согласно формуле Производная Гато является приращения аргумента и может быть представлена в виде Здесь предполагается суммирование по индексу s. Число слагаемых зависит от выбора функции f. Выражения и называются компонентами производной.
Виды умножений Умножение Грассмана Так по-другому называется общепринятое умножение кватернионов ( p q). Евклидово умножение Отличается от общепринятого тем, что вместо первого сомножителя берется сопряжённый к нему:.
Оно также некоммутативно. Скалярное произведение Аналогично одноимённой операции для векторов:. Эту операцию можно использовать для выделения одного из коэффициентов, например,. Определение модуля кватерниона можно видоизменить:.
Внешнее произведение. Используется не очень часто, тем не менее рассматривается в дополнение к скалярному произведению.
Векторное произведение Аналогично одноимённой операции для векторов. Результатом является тоже вектор:.
Памятная табличка на мосту Брум Бридж в: «Здесь на прогулке, 16 октября 1843 года, во вспышке гения, сэр открыл формулу перемножения кватернионов» Бурное и чрезвычайно плодотворное развитие комплексного анализа в стимулировало у математиков интерес к следующей задаче: найти новый вид чисел, аналогичный по свойствам, но содержащий не одну, а две мнимые единицы. Предполагалось, что такая модель будет полезна при решении пространственных задач математической физики.
Однако работа в этом направлении оказалась безуспешной. Новый вид чисел был обнаружен ирландским математиком в, и он содержал не две, как ожидалось, а три мнимые единицы. Гамильтон назвал эти числа кватернионами. Позднее строго доказал , что расширить комплексное до поля или с двумя мнимыми единицами невозможно. Несмотря на необычные свойства новых чисел (их некоммутативность), эта модель довольно быстро принесла практическую пользу.
Использовал компактную кватернионную запись для формулировки электромагнитного поля. Позднее на основе алгебры кватернионов был создан трёхмерный (, ). Новые результаты и направления исследований Кватернионы и метрика Минковского Как алгебра над, кватернионы образуют вещественное векторное пространство, снабжённое третьего ранга S типа (1,2), иногда называемого структурным тензором.
Правила Игры В Дурака
Как всякий тензор такого типа, S отображает каждую t на и пару векторов из в вещественное число. Для любой фиксированной 1-формы t S превращается в ковариантный тензор второго ранга, который, в случае его симметрии, становится. Поскольку каждое вещественное векторное пространство является также вещественным, такое скалярное произведение порождает тензорное поле, которое, при условии его невырожденности, становится (псевдо- или собственно-)евклидовой.
В случае кватернионов это скалярное произведение индефинитно, его не зависит от 1-формы t, а соответствующая псевдоевклидова метрика есть. Эта метрика автоматически продолжается на ненулевых кватернионов вдоль её левоинвариантных векторных полей, образуя так называемую закрытую ФЛРУ (Фридман — Леметр — Робертсон — Уолкер) метрику — важное решение уравнений Эйнштейна. Эти результаты проясняют некоторые аспекты проблемы совместимости и в рамках теории.
Также Источники. John C. (англ.). — Review. Проверено 7 февраля 2009. up to unit-migration. R.
Fueter Über die analytische Darstellung der regulären Funktionen einer Quaternionenvariablen, — Comment. 8, pp.371—378, 1936. Sudbery Quaternionic Analysis, — Department of Mathematics, University of York, 1977.
Выражение не является дробью и должно восприниматься как символ оператора. Данное обозначение предложенно для того, чтобы сохранить преемственность с классическим анализом. А. Н. Крылов.
Vladimir Trifonov A Linear Solution of the Four-Dimensionality Problem // Euruphysics Letters, — IOP Publishing, V. 32, № 8 / 12.1995. — С. 621—626 — DOI: 10.1209/0295-5075/32/8/001. Vladimir Trifonov Natural Geometry of Nonzero Quaternions // International Journal of Theoretical Physics, — Springer Netherlands, V. 46, № 2 / 02.2007. — С. 251—257 — ISSN 0020-7748 (Print) ISSN 1572-9575 (Online).
Vladimir Trifonov GR-Friendly Description of Quantum Systems // International Journal of Theoretical Physics, — Springer Netherlands, V. 47, № 2 / 02.2008. — С.
492—510 — ISSN 0020-7748 (Print) ISSN 1572-9575 (Online). Литература. И. Мищенко А., Соловьев Ю., —, N9, 1983. Martin John Baker — применение кватернионов в 3D графике.
Смотреть что такое 'Кватернионы' в других словарях:. — КВАТЕРНИОНЫ, тип абстрактного числа, найденный Уильямом ГАМИЛЬТОНОМ. Обычное комплексное число имеет форму а + bi (где а и b являются действительными числами, а i квадратный корень из 1). Кватернион имеет вид а + bi + cj + dk, где i, j и k Научно-технический энциклопедический словарь.
Кватернионы В Программировании Игр
— элементы множества И, представимые в виде. Здесь веществ, числа, а (1, г, /, k) образующие базиса в Н, удовлетворяющие соотношениям: Обозначения принадлежат У. Гамильтону (W. Hamilton), открывшему К.
В его честь для обозначения Физическая энциклопедия. — (от лат. Quaterni по четыре) система чисел, предложенная в 1843 англ. Возникли при попытках найти обобщение комплексных чисел (См. Комплексные числа) х + iy, где х и у действительные числа, i базисная единица с Большая советская энциклопедия. — (фр. Quaternion лат.
Quaterni по четыре) гиперкомплексные числа более общая, чем комплексные числа, система чисел, содержащая четыре единицы, для которых справедливы все основные законы действий, кроме коммутативного закона для умножения. Новый Словарь иностранных слов русского языка. — Эта статья или раздел нуждается в переработке.
Игры В Интернете
Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей Википедия. — Кватернионы (англ. Quaternion) это система гиперкомплексных чисел, предложенная У. Р. Гамильтоном в 1843 году. Умножение кватернионов некоммутативно; они образуют тело, которое обычно обозначается. Кватернионы очень удобны для описания Википедия. — см. Кватернионы Энциклопедический словарь Ф.А.
Брокгауза и И.А. Ефрона. — Тождество Эйлера о четырёх квадратах математическая теорема о том, что произведение сумм четырёх квадратов является суммой четырёх квадратов. Действительно Википедия. — (Кватернионы) см. Кватернионы Энциклопедический словарь Ф.А.
Брокгауза и И.А. Ефрона. — Кватернионы (от лат. quaterni, по четыре) система гиперкомплексных чисел, образующая векторное пространство размерностью четыре над полем вещественных чисел. Кватернионы минимальное расширение комплексных чисел, образующее тело, Википедия. Книги., Юрий Челноков. В монографии излагаются кватернионные модели и методы динамики, инерциальной навигации и управления движением, использующие для описания движения гиперкомплексные переменные – кватернионы электронная книга., Понтрягин Л.С.
Правила Игры В Покер
В книге представлен популярный рассказ о возможных обобщениях понятия числа. Сначала подробно рассмотрены обобщения действительных чисел (комплексные числа и кватернионы). Доказано, что не., Л. В книге представлен популярный рассказ о возможных обобщениях понятия числа. Сначала подробно рассмотрены обобщения действительных чисел (комплексные числа и кватернионы). Доказано, что не.